유튜브 이상엽Math 선생님의 선형대수학을 정리한 것입니다.

연습 문제 풀이

4번

• 어쩐지 증명이 불가능하다 했는데, 불가능한게 맞았다.
• 우선 기본행렬이라는 개념을 알고 있어야한다.
  • 기본 행렬은 단위 형렬에 기본 행연산을 1번만 실행한 행렬이다.
    • 예시로 2x2 행렬에서는 다음과 같은 것들이 있다.
    • $\left(\begin{array}{cc} 1 & 3\\ 0 & 1 \end{array}\right)$, $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$
    • 기본 행렬의 역행렬은 부호 변경, 역수와 같은 모습으로 나온다.
  • 그리고 다음의 두개의 참인 명제가 기본적으로 필요하다고 한다.
    • 가역인 모든 행렬은 기본행렬들의 곱으로 나타낼 수 있다.
      • $A=E_1E_2E_3$같은거랄까...
    • 임의의 정사각행렬 A와 기본행렬 E에 대해 $det(AE) = det(A)\cdot det(E)$이다.

1. 벡터와 좌표계

평면벡터

• $R^2$ 에서 크기(스칼라)와 방향의 의미를 모두 포함하는 표현 도구.
  • 표기법은 $\vec{v}$ 혹은 볼드체 $\mathrm{v}$와 같이 작성한다. 일반적으론 그냥 볼드체로 작성한다.
• 시점과 종점에 상관 없이 크기와 방향만 같으면 같은 벡터라고 한다.

공간벡터

• $R^3$에서 크기와 방향의 의미를 모두 포함하는 표현 도구.

n차원 벡터

• $R^n$ 상의 벡터 $\mathrm{v} = (v_1, v_2, ... , v_n) = \vec{AB} = (b_1-a_1, b_2-a_2, ..., b_n-a_n)$

영벡터: $\vec{0} = \mathrm{0} = (0, 0, ... , 0)$

$\mathrm{v} = (v_1, v_2, ... , v_n), \mathrm{w} = (w_1, w_2, ... , w_n)$ 가 같다. $\Leftrightarrow v_1 = w_1, v_2 = w_2, ..., v_n = w_n$

2. 벡터의 연산

노름

• 벡터의 크기(또는 길이)이다.
  • $|\mathrm{v}|=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{n}^{2}}$
• 노름이 1인 벡터를 단위벡터라고 한다.
  • 정규화:$ \frac{\mathrm{v}}{|\mathrm{v}|}$
• $e_{1}=(1,0, \cdots, 0), e_{2}=(0,1, \cdots, 0)$등을 표준 단위 벡터라고 한다.
  • 이들의 상수배의 합으로 임의의 벡터를 표현하는 것이 가능하다.

선형결합

• 벡터 덧셈과 뺄셈, 실수배와 같은 것도 선형 결합이다.
• $R^n$의 벡터 $\mathrm{w}$가 임의의 실수 $k_1 , k_2, ..., k_r$ 에 대하여
  $\mathrm{w} = k_1\mathrm{v}_1+k_2\mathrm{v}_2+ ... +k_r\mathrm{v}_r$
  의 형태로 쓰여지면,$\mathrm{w} 를 \mathrm{v}_1,..., \mathrm{v}_r $의 선형(일차)결합이라 한다.
• 2차 이상의 항이 있으면 선형결합이 아니다.

스칼라 곱(Dot Product)

• 한 벡터가 다른 벡터의 방향에 대해가한 힘에 의해 변화된 스칼라(크기). 점곱 또는 내적.
• $\mathrm{v} \cdot \mathrm{w}=|\mathrm{v}||\mathrm{w}| \cos \theta \
  =v_{1} w_{1}+v_{2} w_{2}+\cdots+v_{n} w_{n}$
• 내적은 교환법칙, 분배법칙 등이 성립한다. 결합법칙은 성립하지 않는다.

벡터 곱(Cross Product)

• 방향은 두 벡터에 동시에 수직이고, 크기는 두 벡터의 평행사변형의 면적인 $R^3$ 상의 벡터. 가위곱 또는 외적(이거는 텐서곱에서 쓰이는 용어라고 한다. 지양하자).
  • 즉, 굉장히 유의미한 결과가 나온다.
  • 그리고, 오른손 법칙을 통해서 수직 벡터의 방향을 알 수 있다.
• $\mathrm{v} \times \mathrm{w}=\left(\left|\begin{array}{ll}
  v_{2} &v_{3} \\
  w_{2} & w_{3}
  \end{array}\right|,-\left|\begin{array}{c}
  v_{1} &v_{3} \\
  w_{1} & w_{3}
  \end{array}\right|,\left|\begin{array}{c}
  v_{1} &v_{2} \\
  w_{1} & w_{2}
  \end{array}\right|\right)$
• 성질
• $\mathrm{u} \times \mathrm{v}=-(\mathrm{v} \times \mathrm{u}) \\
  \mathrm{u} \times(\mathrm{v}+\mathrm{w})=(\mathrm{u} \times \mathrm{v})+(\mathrm{u} \times \mathrm{w}) \\
  (\mathrm{u}+\mathrm{v}) \times \mathrm{w}=(\mathrm{u} \times \mathrm{w})+(\mathrm{v} \times \mathrm{w}) \\
  k(\mathrm{u} \times \mathrm{v})=(k \mathrm{u}) \times \mathrm{v}=\mathrm{u} \times(k \mathrm{v}) \\
  \mathrm{u} \times \vec{0}=\vec{0} \times \mathrm{u}=\vec{0} \\
  \mathrm{u} \times \mathrm{u}=\vec{0}$
• 결합법칙도 없고(반례를 들기 쉽다), 마지막의 자기 자신과 cross product하는 것은 평행사변형의 크기가 0인 것이니까, 0이라고 한다.

3. 벡터의 응용

사실 이 파트의 내용은 굉장히 방대한데, 최소한의 근간만 알려주신다고 한다. 그런데 대충 봤을 때는 미적분학에서도 배웠던 것 같다.

직선의 표현

• $R^2 or R^3$에서 위치벡터가 $\mathrm{a}$인 점 A를 지나며 방향벡터가 $\mathrm{v}$인 직선상의 임의의 점 X 의 위치벡터 $\mathrm{x}$는 다음을 만족한다. (k는 임의의 실수이다.)
  • $\mathrm{x} = \mathrm{a} + k\mathrm{v}$
  • 위치벡터란 원점을 시점으로 하는 벡터이다.
  • 방향벡터는 직선이 늘어나는 방향을 지시하는 벡터이다.
    • 방향벡터의 크기가 1이면 단위방향벡터이다.
  • 3차원의 직선의 방정식은 다음과 같이 표현이 가능하다. (l,m,n)은 방향벡터이다.
  • $\frac{x-x_{1}}{l}=\frac{y-y_{1}}{m}=\frac{z-z_{1}}{n} \\
    if \space n = 0, \frac{x-x_{1}}{l}=\frac{y-y_{1}}{m}, z=z_{1}$

평면의 표현

• $R^3$에서 위치벡터가 $\mathrm{a}$인 점 A를 지나며 법선벡터가 $\mathrm{v}$인 평면상의 임의의 점 X 의 위치벡터 $\mathrm{x}$는 다음을 만족한다. (k는 임의의 실수이다.)
  • $(\mathrm{x} - \mathrm{a}) \cdot \mathrm{v} = \mathrm{0}$
  • 법선벡터는 평면에 수직인 벡터인데, 평면 위의 임의의 두 벡터를 cross product를 통해서 구할 수 있다.
  • $(\mathrm{x} - \mathrm{a})$이 부분에서 $\mathrm{x} = (x,y,z), \mathrm{a} = (x_1,y_1,z_1)$ 정도로 생각하면 될 것 같다. x는 그냥 미지수 세개!
  • 그리고 알다시피 $ax+by+cz+d=0$으로도 평면의 방정식이 표현 가능하다.

유튜브 이상엽Math 선생님의 선형대수학을 정리한 것입니다.

행렬의 연산

용어 정리 및 행렬의 연산까지는 아는 내용이 많기 때문에 넘기려고 했으나, 행렬의 곱셉과 함수의 합성이 의미적으로 같다는 것을 보여준 것이 중요한 것 같았다.
$$
f(x,y) = (ax+by,cx+dy)\\
g(x,y) = (px+qy,rx+sy)\\
f \circ g = (apx+aqy+brx+bsy, cpx+cqy+drx+dsy)\\
=((ap+br)x+(aq+bs)y,(cp+dr)x+(cq+ds)y)
$$

$$
F=\left(\begin{array}{cc}
a & b\
c & d
\end{array}\right),
G=\left(\begin{array}{cc}
p & q\
r & s
\end{array}\right)\\
FG=\left(\begin{array}{cc}
ap+br & aq+bs\
cp+dr & cq+ds
\end{array}\right)
$$

행렬의 곱셉은 상당히 자연스러운 정의다. 교환 법칙이 성립하지 않는 것도 자명하게 된다.

행렬의 대각합: tr(A), 행렬의 전치와 같은 연산들도 알아두자.

연립일차방정식

행렬은 연립일차방정식을 풀기 위해서 고안이 된 것이다.

행렬의 표현

행렬은 가우스 조던 소건법을 위한 표현과 역행렬을 이용하기 위한 표현법이 있다. 예를 들어 $\begin{cases} x+2y=5\ 2z + 3y = 8 \end{cases}$ 은 다음과 같이 표현이 가능하다.

1. $\left(\begin{array}{cc}
   1 & 2 & 5\\
   2 & 3 & 8
   \end{array}\right)\\$ 가우스 조던 소거법
2. $\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 2 & 3 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} x\ y \end{array}\right) =\left(\begin{array}{cc} 5\\ 8 \end{array}\right)\\$ 역행렬 이용

가우스 조던 소거법의 행렬을 첨가행렬(augmented matrix)이라고 한다.

역행렬 이용하는 것에서 좌변의 1223 행렬은 계수행렬, 우변의 행렬을 상수행렬이라고 한다.

가우스-조던 소거법

가우스 조던 소거법은 아래의 기본 행 연산을 통해 연립일차방정식의 첨가행렬을 기약 행사다리꼴(reduced row echelon form)으로 변환하여 해를 구한다.

1. 한 행을 상수배한다.
2. 한 행을 상수배하여 다행 행에 더한다.
3. 두 행을 맞바꾼다.

reduced row echelon form만 강의에서 들어봤다. 위 연산들만이 고유의 해를 변화시키지 않으면서 식을 간단하게 만들어 줄 수 있따.

reduced row echelon form이란 다음과 같다.

1. 0이 아닌 원소를 갖는 행에서 맨 처음 나오는 0이 아닌 수는 1이어야 한다. 이것을 leading 1 이라고 부른다.
2. 모든 원소가 0인 행이 있다면 그 행은 행렬의 맨 밑으로 내려가야한다.
3. 0이 아닌 원소를 갖는 연속된 두 행은 밑에 있는 행의 leading 1이 위에 있는 행의 leading 1보다 오른쪽에 있어야한다.
4. leading 1이 있는 열의 나머지 원소들은 모두 0이어야한다.

출처 : https://slideplayer.com/slide/8898171/

행사다리꼴을 만드는 과정 까지를 가우스 소거법이라고 하고, 기약 행 사다리꼴을 만드는 것 까지 하는 것을 가우스 조던 소거법이라고 한다. (조던...!)

해가 무수히 많은 경우에는 일반해(general solution)을 표현해주면 된다.

역행렬 이용

역행렬을 이용해서 다음과 같이 구할 수 있다.

$\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 2 & 3 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} x\\ y \end{array}\right) =\left(\begin{array}{cc} 5\\ 8 \end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{cc} x\\ y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 2 & 3 \end{array}\right)^{-1} \left(\begin{array}{cc} 5\\ 8 \end{array}\right) $

이를 하기 위해서는 역행렬이 존재하는지 여부와 역행렬을 연산하는 방법에 대해서 알아야한다. 이를 위해서는 행렬식의 개념이 필요하다.

행렬식

행렬식이란?

정사각행렬 A를 하나의 수로써 대응시키는 특별한 함수이다.

행렬식은 사실 선형대수가 있기 전부터 있었던 매우 유의미한 숫자라고 한다.

표기는 다음과 같다. $detA=|A|$

행렬식 계산법을 표기하는데 드는 시간이 너무 많이든다.

여기서는 간략하게 적고, 이 링크를 참고해주길 바란다. 여기서는 사루스 법칙(전개)를 다룬다. 사루스 법칙은 매우 편하지만, 본질에 가까운건 아래의 공식들이다.
$$
1.\space 0 \times 0 \Rightarrow det() = 0 \\
2.\space 1 \times 1 \Rightarrow det(a) = a\\
3.\space 2 \times 2 \Rightarrow det\left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right) = ad-bc \\
4.\space 3 \times 3 \Rightarrow det\left(\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right) = a_{11}M_{11} - a_{22}M_{22} + a_{33}M_{33} \\
5.\space 4 \times 4 \Rightarrow det(A) = a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13} - a_{14}M_{14}
$$
여기서 $M_{ij}$는 소행렬(Minor matrix)로 i행과 j열을 지운 matrix이다. 이러한 작업을 하는 것을 여인수 전개라고 한다. 짝수 행 또는 열을 하면 그래서 부호가 음수부터 시작한다.

행렬식을 구할 때 꼭 1행을 훑을 필요는 없다. 1열을 훓어도 되고, 2행을 훑어도 된다. 0이 많은 줄을 골라서 하면 빠르게 계산할 수 있을지도 모른다.

역행렬

행렬식이 0이면 역행렬은 존재하지 않는다(singular). 그리고, 행렬식이 0이 아닌 정사각행렬 A의 역행렬은 다음과 같다.
$$
A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} A}\left(\begin{array}{ccc}
C_{11} & C_{21} & \cdots \\
C_{12} & C_{22} & \cdots \\
\vdots & \vdots & \ddots
\end{array}\right) = \frac {adjA} {detA}
$$
여기서 $C_{ij}$는 여인수행렬(cofactor matrix)로, $C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$이다.

여기서 여인수 행렬로만 이루어진 행렬을 수반행렬(adjoint matrix)라고 한다.

수반 행렬을 자세히 보면, transpose가 일어나있다는 것을 알 수 있다.

그래서 가장 중요한 공식인 2x2 행렬의 역행렬은 다음과 같다.
$$
\left(\begin{array}{l}
a & b \\
c & d
\end{array}\right)^{-1}=\frac{1}{a d-b c}\left(\begin{array}{c}
d & -b \\
-c & a
\end{array}\right)
$$

크래머 공식

크래머 공식은 연립 일차 방정식을 모두 푸는 것이 아니라, $x_1, x_2, ..., x_k$까지의 변수가 있을 때, 특정한 하나의 변수의 값만 구할 때 쓰인다.

연립일차방정식 AX=B에서, A가 행렬식이 0이 아닌 정사각 행렬일 때,
$$
x_{j}=\frac{\operatorname{det} A_{j}}{\operatorname{det} A}
$$
여기서 $A_j$ 는 A의 j번째 열을 B의 원소로 바꾼 행렬이다.