물리적 벡터

유튜브 이상엽Math 선생님의 선형대수학을 정리한 것입니다.

연습 문제 풀이

4번

• 어쩐지 증명이 불가능하다 했는데, 불가능한게 맞았다.
• 우선 기본행렬이라는 개념을 알고 있어야한다.
  • 기본 행렬은 단위 형렬에 기본 행연산을 1번만 실행한 행렬이다.
    • 예시로 2x2 행렬에서는 다음과 같은 것들이 있다.
    • $\left(\begin{array}{cc} 1 & 3\\ 0 & 1 \end{array}\right)$, $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$
    • 기본 행렬의 역행렬은 부호 변경, 역수와 같은 모습으로 나온다.
  • 그리고 다음의 두개의 참인 명제가 기본적으로 필요하다고 한다.
    • 가역인 모든 행렬은 기본행렬들의 곱으로 나타낼 수 있다.
      • $A=E_1E_2E_3$같은거랄까...
    • 임의의 정사각행렬 A와 기본행렬 E에 대해 $det(AE) = det(A)\cdot det(E)$이다.

1. 벡터와 좌표계

평면벡터

• $R^2$ 에서 크기(스칼라)와 방향의 의미를 모두 포함하는 표현 도구.
  • 표기법은 $\vec{v}$ 혹은 볼드체 $\mathrm{v}$와 같이 작성한다. 일반적으론 그냥 볼드체로 작성한다.
• 시점과 종점에 상관 없이 크기와 방향만 같으면 같은 벡터라고 한다.

공간벡터

• $R^3$에서 크기와 방향의 의미를 모두 포함하는 표현 도구.

n차원 벡터

• $R^n$ 상의 벡터 $\mathrm{v} = (v_1, v_2, ... , v_n) = \vec{AB} = (b_1-a_1, b_2-a_2, ..., b_n-a_n)$

영벡터: $\vec{0} = \mathrm{0} = (0, 0, ... , 0)$

$\mathrm{v} = (v_1, v_2, ... , v_n), \mathrm{w} = (w_1, w_2, ... , w_n)$ 가 같다. $\Leftrightarrow v_1 = w_1, v_2 = w_2, ..., v_n = w_n$

2. 벡터의 연산

노름

• 벡터의 크기(또는 길이)이다.
  • $|\mathrm{v}|=\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots+v_{n}^{2}}$
• 노름이 1인 벡터를 단위벡터라고 한다.
  • 정규화:$ \frac{\mathrm{v}}{|\mathrm{v}|}$
• $e_{1}=(1,0, \cdots, 0), e_{2}=(0,1, \cdots, 0)$등을 표준 단위 벡터라고 한다.
  • 이들의 상수배의 합으로 임의의 벡터를 표현하는 것이 가능하다.

선형결합

• 벡터 덧셈과 뺄셈, 실수배와 같은 것도 선형 결합이다.
• $R^n$의 벡터 $\mathrm{w}$가 임의의 실수 $k_1 , k_2, ..., k_r$ 에 대하여
  $\mathrm{w} = k_1\mathrm{v}_1+k_2\mathrm{v}_2+ ... +k_r\mathrm{v}_r$
  의 형태로 쓰여지면,$\mathrm{w} 를 \mathrm{v}_1,..., \mathrm{v}_r $의 선형(일차)결합이라 한다.
• 2차 이상의 항이 있으면 선형결합이 아니다.

스칼라 곱(Dot Product)

• 한 벡터가 다른 벡터의 방향에 대해가한 힘에 의해 변화된 스칼라(크기). 점곱 또는 내적.
• $\mathrm{v} \cdot \mathrm{w}=|\mathrm{v}||\mathrm{w}| \cos \theta \
  =v_{1} w_{1}+v_{2} w_{2}+\cdots+v_{n} w_{n}$
• 내적은 교환법칙, 분배법칙 등이 성립한다. 결합법칙은 성립하지 않는다.

벡터 곱(Cross Product)

• 방향은 두 벡터에 동시에 수직이고, 크기는 두 벡터의 평행사변형의 면적인 $R^3$ 상의 벡터. 가위곱 또는 외적(이거는 텐서곱에서 쓰이는 용어라고 한다. 지양하자).
  • 즉, 굉장히 유의미한 결과가 나온다.
  • 그리고, 오른손 법칙을 통해서 수직 벡터의 방향을 알 수 있다.
• $\mathrm{v} \times \mathrm{w}=\left(\left|\begin{array}{ll}
  v_{2} &v_{3} \\
  w_{2} & w_{3}
  \end{array}\right|,-\left|\begin{array}{c}
  v_{1} &v_{3} \\
  w_{1} & w_{3}
  \end{array}\right|,\left|\begin{array}{c}
  v_{1} &v_{2} \\
  w_{1} & w_{2}
  \end{array}\right|\right)$
• 성질
• $\mathrm{u} \times \mathrm{v}=-(\mathrm{v} \times \mathrm{u}) \\
  \mathrm{u} \times(\mathrm{v}+\mathrm{w})=(\mathrm{u} \times \mathrm{v})+(\mathrm{u} \times \mathrm{w}) \\
  (\mathrm{u}+\mathrm{v}) \times \mathrm{w}=(\mathrm{u} \times \mathrm{w})+(\mathrm{v} \times \mathrm{w}) \\
  k(\mathrm{u} \times \mathrm{v})=(k \mathrm{u}) \times \mathrm{v}=\mathrm{u} \times(k \mathrm{v}) \\
  \mathrm{u} \times \vec{0}=\vec{0} \times \mathrm{u}=\vec{0} \\
  \mathrm{u} \times \mathrm{u}=\vec{0}$
• 결합법칙도 없고(반례를 들기 쉽다), 마지막의 자기 자신과 cross product하는 것은 평행사변형의 크기가 0인 것이니까, 0이라고 한다.

3. 벡터의 응용

사실 이 파트의 내용은 굉장히 방대한데, 최소한의 근간만 알려주신다고 한다. 그런데 대충 봤을 때는 미적분학에서도 배웠던 것 같다.

직선의 표현

• $R^2 or R^3$에서 위치벡터가 $\mathrm{a}$인 점 A를 지나며 방향벡터가 $\mathrm{v}$인 직선상의 임의의 점 X 의 위치벡터 $\mathrm{x}$는 다음을 만족한다. (k는 임의의 실수이다.)
  • $\mathrm{x} = \mathrm{a} + k\mathrm{v}$
  • 위치벡터란 원점을 시점으로 하는 벡터이다.
  • 방향벡터는 직선이 늘어나는 방향을 지시하는 벡터이다.
    • 방향벡터의 크기가 1이면 단위방향벡터이다.
  • 3차원의 직선의 방정식은 다음과 같이 표현이 가능하다. (l,m,n)은 방향벡터이다.
  • $\frac{x-x_{1}}{l}=\frac{y-y_{1}}{m}=\frac{z-z_{1}}{n} \\
    if \space n = 0, \frac{x-x_{1}}{l}=\frac{y-y_{1}}{m}, z=z_{1}$

평면의 표현

• $R^3$에서 위치벡터가 $\mathrm{a}$인 점 A를 지나며 법선벡터가 $\mathrm{v}$인 평면상의 임의의 점 X 의 위치벡터 $\mathrm{x}$는 다음을 만족한다. (k는 임의의 실수이다.)
  • $(\mathrm{x} - \mathrm{a}) \cdot \mathrm{v} = \mathrm{0}$
  • 법선벡터는 평면에 수직인 벡터인데, 평면 위의 임의의 두 벡터를 cross product를 통해서 구할 수 있다.
  • $(\mathrm{x} - \mathrm{a})$이 부분에서 $\mathrm{x} = (x,y,z), \mathrm{a} = (x_1,y_1,z_1)$ 정도로 생각하면 될 것 같다. x는 그냥 미지수 세개!
  • 그리고 알다시피 $ax+by+cz+d=0$으로도 평면의 방정식이 표현 가능하다.