유튜브 이상엽Math 선생님의 선형대수학을 정리한 것입니다.
행렬의 연산
용어 정리 및 행렬의 연산까지는 아는 내용이 많기 때문에 넘기려고 했으나, 행렬의 곱셉과 함수의 합성이 의미적으로 같다는 것을 보여준 것이 중요한 것 같았다.
$$
f(x,y) = (ax+by,cx+dy)\\
g(x,y) = (px+qy,rx+sy)\\
f \circ g = (apx+aqy+brx+bsy, cpx+cqy+drx+dsy)\\
=((ap+br)x+(aq+bs)y,(cp+dr)x+(cq+ds)y)
$$
$$
F=\left(\begin{array}{cc}
a & b\
c & d
\end{array}\right),
G=\left(\begin{array}{cc}
p & q\
r & s
\end{array}\right)\\
FG=\left(\begin{array}{cc}
ap+br & aq+bs\
cp+dr & cq+ds
\end{array}\right)
$$
행렬의 곱셉은 상당히 자연스러운 정의다. 교환 법칙이 성립하지 않는 것도 자명하게 된다.
행렬의 대각합: tr(A), 행렬의 전치와 같은 연산들도 알아두자.
연립일차방정식
행렬은 연립일차방정식을 풀기 위해서 고안이 된 것이다.
행렬의 표현
행렬은 가우스 조던 소건법을 위한 표현과 역행렬을 이용하기 위한 표현법이 있다. 예를 들어 $\begin{cases} x+2y=5\ 2z + 3y = 8 \end{cases}$ 은 다음과 같이 표현이 가능하다.
- $\left(\begin{array}{cc}
1 & 2 & 5\\
2 & 3 & 8
\end{array}\right)\\$ 가우스 조던 소거법 - $\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 2 & 3 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} x\ y \end{array}\right) =\left(\begin{array}{cc} 5\\ 8 \end{array}\right)\\$ 역행렬 이용
가우스 조던 소거법의 행렬을 첨가행렬(augmented matrix)이라고 한다.
역행렬 이용하는 것에서 좌변의 1223 행렬은 계수행렬, 우변의 행렬을 상수행렬이라고 한다.
가우스-조던 소거법
가우스 조던 소거법은 아래의 기본 행 연산을 통해 연립일차방정식의 첨가행렬을 기약 행사다리꼴(reduced row echelon form)으로 변환하여 해를 구한다.
- 한 행을 상수배한다.
- 한 행을 상수배하여 다행 행에 더한다.
- 두 행을 맞바꾼다.
reduced row echelon form만 강의에서 들어봤다. 위 연산들만이 고유의 해를 변화시키지 않으면서 식을 간단하게 만들어 줄 수 있따.
reduced row echelon form이란 다음과 같다.
- 0이 아닌 원소를 갖는 행에서 맨 처음 나오는 0이 아닌 수는 1이어야 한다. 이것을 leading 1 이라고 부른다.
- 모든 원소가 0인 행이 있다면 그 행은 행렬의 맨 밑으로 내려가야한다.
- 0이 아닌 원소를 갖는 연속된 두 행은 밑에 있는 행의 leading 1이 위에 있는 행의 leading 1보다 오른쪽에 있어야한다.
- leading 1이 있는 열의 나머지 원소들은 모두 0이어야한다.
출처 : https://slideplayer.com/slide/8898171/
행사다리꼴을 만드는 과정 까지를 가우스 소거법이라고 하고, 기약 행 사다리꼴을 만드는 것 까지 하는 것을 가우스 조던 소거법이라고 한다. (조던...!)
해가 무수히 많은 경우에는 일반해(general solution)을 표현해주면 된다.
역행렬 이용
역행렬을 이용해서 다음과 같이 구할 수 있다.
$\left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 2 & 3 \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} x\\ y \end{array}\right) =\left(\begin{array}{cc} 5\\ 8 \end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{cc} x\\ y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 1 & 2\\ 2 & 3 \end{array}\right)^{-1} \left(\begin{array}{cc} 5\\ 8 \end{array}\right) $
이를 하기 위해서는 역행렬이 존재하는지 여부와 역행렬을 연산하는 방법에 대해서 알아야한다. 이를 위해서는 행렬식의 개념이 필요하다.
행렬식
행렬식이란?
정사각행렬 A를 하나의 수로써 대응시키는 특별한 함수이다.
행렬식은 사실 선형대수가 있기 전부터 있었던 매우 유의미한 숫자라고 한다.
표기는 다음과 같다. $detA=|A|$
행렬식 계산법을 표기하는데 드는 시간이 너무 많이든다.
여기서는 간략하게 적고, 이 링크를 참고해주길 바란다. 여기서는 사루스 법칙(전개)를 다룬다. 사루스 법칙은 매우 편하지만, 본질에 가까운건 아래의 공식들이다.
$$
1.\space 0 \times 0 \Rightarrow det() = 0 \\
2.\space 1 \times 1 \Rightarrow det(a) = a\\
3.\space 2 \times 2 \Rightarrow det\left(\begin{array}{cc} a & b\\ c & d \end{array}\right) = ad-bc \\
4.\space 3 \times 3 \Rightarrow det\left(\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array}\right) = a_{11}M_{11} - a_{22}M_{22} + a_{33}M_{33} \\
5.\space 4 \times 4 \Rightarrow det(A) = a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13} - a_{14}M_{14}
$$
여기서 $M_{ij}$는 소행렬(Minor matrix)로 i행과 j열을 지운 matrix이다. 이러한 작업을 하는 것을 여인수 전개라고 한다. 짝수 행 또는 열을 하면 그래서 부호가 음수부터 시작한다.
행렬식을 구할 때 꼭 1행을 훑을 필요는 없다. 1열을 훓어도 되고, 2행을 훑어도 된다. 0이 많은 줄을 골라서 하면 빠르게 계산할 수 있을지도 모른다.
역행렬
행렬식이 0이면 역행렬은 존재하지 않는다(singular). 그리고, 행렬식이 0이 아닌 정사각행렬 A의 역행렬은 다음과 같다.
$$
A^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det} A}\left(\begin{array}{ccc}
C_{11} & C_{21} & \cdots \\
C_{12} & C_{22} & \cdots \\
\vdots & \vdots & \ddots
\end{array}\right) = \frac {adjA} {detA}
$$
여기서 $C_{ij}$는 여인수행렬(cofactor matrix)로, $C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$이다.
여기서 여인수 행렬로만 이루어진 행렬을 수반행렬(adjoint matrix)라고 한다.
수반 행렬을 자세히 보면, transpose가 일어나있다는 것을 알 수 있다.
그래서 가장 중요한 공식인 2x2 행렬의 역행렬은 다음과 같다.
$$
\left(\begin{array}{l}
a & b \\
c & d
\end{array}\right)^{-1}=\frac{1}{a d-b c}\left(\begin{array}{c}
d & -b \\
-c & a
\end{array}\right)
$$
크래머 공식
크래머 공식은 연립 일차 방정식을 모두 푸는 것이 아니라, $x_1, x_2, ..., x_k$까지의 변수가 있을 때, 특정한 하나의 변수의 값만 구할 때 쓰인다.
연립일차방정식 AX=B에서, A가 행렬식이 0이 아닌 정사각 행렬일 때,
$$
x_{j}=\frac{\operatorname{det} A_{j}}{\operatorname{det} A}
$$
여기서 $A_j$ 는 A의 j번째 열을 B의 원소로 바꾼 행렬이다.